Spjall:Teljanlegt mengi

Það má ekki rugla saman orðunum óendanlegt og óteljanlegt. Mengi getur verið teljanlega óendanlegt (þá parast það einkvæmt við N), en ekkert mengi getur verið teljanlega óteljanlegt, í því felst mótsögn. Þess vegna breyti ég í greininni óteljanlegt í óendanlegt. --Moi 20:33, 26 okt 2004 (UTC)

Leiðrétti smárugling á milli "teljanlegt" og "endanlegt". Það er ekki hægt að skilgreina teljanlegt mengi sem mengi sem sé teljanlegt. Þá er verið að skilgreina hugtak með því að nota hugtakið sem verið er að skilgreina.--157.157.186.47 23:40, 4 nóv 2004 (UTC)

Óformleg útskýring á teljanleika

Væri nokkuð úr vegi að láta fylgja með einhvers konar óformlega útskýringu á muninum á teljanlegum mengjum og óteljanlegum, sérstaklega þegar teljanlegu mengin eru óendanleg? Ekki eiga allir jafnauðvelt með að setja sig inn í formlegar stærðfræðilegar skilgreiningar og hugsanlega gæti það hjálpað einhverjum að skilja muninn betur.

Það sem ég hef í huga er eitthvað í líkingu við eftirfarandi:

Vissulega er ógjörningur að telja að fullu upp óendanleg mengi, teljanleg eða óteljanleg, í raunveruleikanum. Hvortveggja innihalda jú óendanlega mörg stök og gætu því í fljótu bragði virst jafn"óteljanleg" fyrir vikið. En það sem greinir að óendanleg mengi sem eru teljanleg og þau sem eru óteljanleg er að ef S er teljanlegt mengi er alltaf til upptalning á S (þ.e. runa af stökum úr S) sem kemur að hvaða staki a ∈ S sem er fyrr eða síðar ef haldið er áfram nógu lengi. Ef S er óteljanlegt er ekki svo, þ.e. sama hvernig reynt er að telja S upp er alltaf til stak a ∈ S sem aldrei verður talið upp, sama hversu lengi er talið.

Dæmi:

Látum S vera mengi allra endanlegra strengja á endanlegu stafrófi Σ. S inniheldur þannig tóma strenginn, alla 1-stafs strengi, alla 2-stafa strengi o.s.frv. Almennt inniheldur S alla k-stafa strengi þar sem k ∈ N og er því óendanlegt þar sem ekkert þak er á því hversu stórt k getur orðið. S er ennfremur teljanlegt einfaldlega með því að telja fyrst upp tóma strenginn, því næst alla 1-stafs strengi, þá alla 2-stafa strengi, alla 3-stafa strengi o.s.frv. út í hið óendanlega. Þetta er alltaf hægt þar sem strengir af lengd k á endanlegu stafrófi eru endanlega margir ($N^{k}$ ef N er fjöldi stafa í Σ). Sérhver endanlegur strengur á Σ, og þar með í S, kemur fyrr eða síðar upp í þessari upptalningu.

Látum nú S vera mengi allra óendanlegra strengja á endanlegu stafrófi Σ. Með því að nota skálínuaðferð Cantors má sýna að S er óteljanlegt, þ.e. sama hvernig talið er upp, alltaf má finna óendanlegan streng á Σ, og þar með í S, sem er ekki með í þeirri upptalningu.

185.126.62.100 22. júlí 2020 kl. 14:16 (UTC)

Enginn hefur hreyft mótbárum í tvö ár. Ég læt því vaða og set þetta í greinina. 185.126.62.100 25. ágúst 2022 kl. 15:08 (UTC)